{l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

X, Yని పరిష్కరించండి

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2ని జోడించండి.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2}ని పొందడం కోసం \frac{1}{2} మరియు 2ని కూడండి.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. Y-\frac{1}{2}తో 8ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

X+1తో 9ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5ని పొందడం కోసం 4ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8Y-4=9X+5$$

రెండు భాగాల నుండి 9Xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8Y-4-9X=5$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$8Y-9X=5+4$$

9ని పొందడం కోసం 5 మరియు 4ని కూడండి.

$$8Y-9X=9$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న Xని వేరు చేయడం ద్వారా Xని పరిష్కరించండి.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4Yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -4Y+\frac{5}{2}ని గుణించండి.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

మరొక సమీకరణములో Xను -2Y+\frac{5}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -9X+8Y=9.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

-9 సార్లు -2Y+\frac{5}{4}ని గుణించండి.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

8Yకు 18Yని కూడండి.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{45}{4}ని కూడండి.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

రెండు వైపులా 26తో భాగించండి.

$$Y=\frac{81}{104}$$

X=-2Y+\frac{5}{4}లో Yను \frac{81}{104} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

-2 సార్లు \frac{81}{104}ని గుణించండి.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{81}{52}కు \frac{5}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$X=-\frac{4}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2ని జోడించండి.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2}ని పొందడం కోసం \frac{1}{2} మరియు 2ని కూడండి.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. Y-\frac{1}{2}తో 8ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

X+1తో 9ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5ని పొందడం కోసం 4ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8Y-4=9X+5$$

రెండు భాగాల నుండి 9Xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8Y-4-9X=5$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$8Y-9X=5+4$$

9ని పొందడం కోసం 5 మరియు 4ని కూడండి.

$$8Y-9X=9$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

X మరియు Y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2ని జోడించండి.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2}ని పొందడం కోసం \frac{1}{2} మరియు 2ని కూడండి.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. Y-\frac{1}{2}తో 8ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

X+1తో 9ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8Y-4=9X+9-4$$

5ని పొందడం కోసం 4ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8Y-4=9X+5$$

రెండు భాగాల నుండి 9Xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8Y-4-9X=5$$

రెండు వైపులా 4ని జోడించండి.

$$8Y-9X=5+4$$

9ని పొందడం కోసం 5 మరియు 4ని కూడండి.

$$8Y-9X=9$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

2X మరియు -9Xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -9తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -18X+16Y=18ని -18X-36Y=-\frac{45}{2} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

18Xకు -18Xని కూడండి. -18X మరియు 18X విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

-16Yకు -36Yని కూడండి.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

-18కు -\frac{45}{2}ని కూడండి.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

రెండు వైపులా -52తో భాగించండి.

$$Y=\frac{81}{104}$$

-9X+8Y=9లో Yను \frac{81}{104} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

8 సార్లు \frac{81}{104}ని గుణించండి.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{81}{13}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$X=-\frac{4}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$