{l}{2(3x+y)=1/2}{1/2(2x+8y)=3/2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 3 x + y ) = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( 2 x + 8 y ) = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{1}{22}\approx -0.045454545$$

$$y=\frac{17}{44}\approx 0.386363636$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

\frac{\frac{1}{2}}{2}ని ఏక భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించండి.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణంలోని రెండు వైపులను 2తో, దాని పరస్పర సంఖ్య \frac{1}{2}తో గుణించండి.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

3ని పొందడం కోసం \frac{3}{2} మరియు 2ని గుణించండి.

$$2x+8y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-y+\frac{1}{4}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+\frac{1}{4}\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -y+\frac{1}{4}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{y}{3}+\frac{1}{12} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+8y=3.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}\right)+8y=3$$

2 సార్లు -\frac{y}{3}+\frac{1}{12}ని గుణించండి.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{6}+8y=3$$

8yకు -\frac{2y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{22}{3}y+\frac{1}{6}=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{6}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{22}{3}y=\frac{17}{6}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{22}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{17}{44}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{12}లో yను \frac{17}{44} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{44}+\frac{1}{12}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{3} సార్లు \frac{17}{44}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{17}{132}+\frac{1}{12}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{17}{132}కు \frac{1}{12}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1}{22}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

\frac{\frac{1}{2}}{2}ని ఏక భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించండి.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణంలోని రెండు వైపులను 2తో, దాని పరస్పర సంఖ్య \frac{1}{2}తో గుణించండి.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

3ని పొందడం కోసం \frac{3}{2} మరియు 2ని గుణించండి.

$$2x+8y=3$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2}&-\frac{1}{3\times 8-2}\\-\frac{2}{3\times 8-2}&\frac{3}{3\times 8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times \frac{1}{4}-\frac{1}{22}\times 3\\-\frac{1}{11}\times \frac{1}{4}+\frac{3}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22}\\\frac{17}{44}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$3x+y=\frac{\frac{1}{2}}{2}$$

\frac{\frac{1}{2}}{2}ని ఏక భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించండి.

$$3x+y=\frac{1}{2\times 2}$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$3x+y=\frac{1}{4}$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణంలోని రెండు వైపులను 2తో, దాని పరస్పర సంఖ్య \frac{1}{2}తో గుణించండి.

$$2x+8y=\frac{3}{2}\times 2$$

3ని పొందడం కోసం \frac{3}{2} మరియు 2ని గుణించండి.

$$2x+8y=3$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+y=\frac{1}{4},2x+8y=3$$

3x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$2\times 3x+2y=2\times \frac{1}{4},3\times 2x+3\times 8y=3\times 3$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6x+2y=\frac{1}{2},6x+24y=9$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x+24y=9ని 6x+2y=\frac{1}{2} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-6x+2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

-6xకు 6xని కూడండి. 6x మరియు -6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2y-24y=\frac{1}{2}-9$$

-24yకు 2yని కూడండి.

$$-22y=\frac{1}{2}-9$$

-9కు \frac{1}{2}ని కూడండి.

$$-22y=-\frac{17}{2}$$

రెండు వైపులా -22తో భాగించండి.

$$y=\frac{17}{44}$$

2x+8y=3లో yను \frac{17}{44} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+8\times \frac{17}{44}=3$$

8 సార్లు \frac{17}{44}ని గుణించండి.

$$2x+\frac{34}{11}=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{34}{11}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-\frac{1}{11}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{22}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{1}{22},y=\frac{17}{44}$$