{l}{2(2x)=6y}{4x+2(6y)=360} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 ( 2 x ) = 6 y } \\ { 4 x + 2 ( 6 y ) = 360 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=30$$

$$y=20$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$4x=6y$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\times 6y$$

\frac{1}{4} సార్లు 6yని గుణించండి.

$$x=\frac{3}{2}y$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+12y=360.

$$4\times \frac{3}{2}y+12y=360$$

4 సార్లు \frac{3y}{2}ని గుణించండి.

$$6y+12y=360$$

12yకు 6yని కూడండి.

$$18y=360$$

రెండు వైపులా 18తో భాగించండి.

$$y=20$$

x=\frac{3}{2}yలో yను 20 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{2}\times 20$$

\frac{3}{2} సార్లు 20ని గుణించండి.

$$x=30$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=30,y=20$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$4x=6y$$

రెండు భాగాల నుండి 6yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-6y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 12ని పొందడం కోసం 2 మరియు 6ని గుణించండి.

$$4x+12y=360$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-6\\4&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 12-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\360\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 360\\\frac{1}{18}\times 360\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\20\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=30,y=20$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$4x=6y$$

రెండు భాగాల నుండి 6yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-6y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 12ని పొందడం కోసం 2 మరియు 6ని గుణించండి.

$$4x+12y=360$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x-6y=0,4x+12y=360$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4x+12y=360ని 4x-6y=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-4x-6y-12y=-360$$

-4xకు 4xని కూడండి. 4x మరియు -4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-6y-12y=-360$$

-12yకు -6yని కూడండి.

$$-18y=-360$$

రెండు వైపులా -18తో భాగించండి.

$$y=20$$

4x+12y=360లో yను 20 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x+12\times 20=360$$

12 సార్లు 20ని గుణించండి.

$$4x+240=360$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 240ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=120$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=30$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=30,y=20$$