{l}{2+3x-y=20}{x-2=y+2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 2 + 3 x - y = 20 } \\ { x - 2 = y + 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=7$$

$$y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=20-2$$

18ని పొందడం కోసం 2ని 20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=18$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2-y=2$$

రెండు వైపులా 2ని జోడించండి.

$$x-y=2+2$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని కూడండి.

$$x-y=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-y=18,x-y=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-y=18$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$3x=y+18$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+18\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు y+18ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{3}y+6$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{3}+6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-y=4.

$$\frac{1}{3}y+6-y=4$$

-yకు \frac{y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{2}{3}y+6=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{2}{3}y=-2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{2}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=3$$

x=\frac{1}{3}y+6లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+6$$

\frac{1}{3} సార్లు 3ని గుణించండి.

$$x=1+6$$

1కు 6ని కూడండి.

$$x=7$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=7,y=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=20-2$$

18ని పొందడం కోసం 2ని 20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=18$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2-y=2$$

రెండు వైపులా 2ని జోడించండి.

$$x-y=2+2$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని కూడండి.

$$x-y=4$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-y=18,x-y=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 18-\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 18-\frac{3}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=7,y=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=20-2$$

18ని పొందడం కోసం 2ని 20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-y=18$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-2-y=2$$

రెండు వైపులా 2ని జోడించండి.

$$x-y=2+2$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని కూడండి.

$$x-y=4$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-y=18,x-y=4$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా x-y=4ని 3x-y=18 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-x-y+y=18-4$$

yకు -yని కూడండి. -y మరియు y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3x-x=18-4$$

-xకు 3xని కూడండి.

$$2x=18-4$$

-4కు 18ని కూడండి.

$$2x=14$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=7$$

x-y=4లో xను 7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$7-y=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 7ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y=-3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=7,y=3$$