{l}{19x+3y=1}{19x+4y=0} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 19 x + 3 y = 1 } \\ { 19 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{4}{19}\approx 0.210526316$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$19x+3y=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$19x=-3y+1$$

రెండు వైపులా 19తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{19}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{19} సార్లు -3y+1ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-3y+1}{19} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 19x+4y=0.

$$19\left(-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}\right)+4y=0$$

19 సార్లు \frac{-3y+1}{19}ని గుణించండి.

$$-3y+1+4y=0$$

4yకు -3yని కూడండి.

$$y+1=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-1$$

x=-\frac{3}{19}y+\frac{1}{19}లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{19}\left(-1\right)+\frac{1}{19}$$

-\frac{3}{19} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{3+1}{19}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{3}{19}కు \frac{1}{19}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{4}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&3\\19&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19\times 4-3\times 19}&-\frac{3}{19\times 4-3\times 19}\\-\frac{19}{19\times 4-3\times 19}&\frac{19}{19\times 4-3\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&-\frac{3}{19}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\\-1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$19x+3y=1,19x+4y=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 19x+4y=0ని 19x+3y=1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$19x-19x+3y-4y=1$$

-19xకు 19xని కూడండి. 19x మరియు -19x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3y-4y=1$$

-4yకు 3yని కూడండి.

$$-y=1$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=-1$$

19x+4y=0లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$19x+4\left(-1\right)=0$$

4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$19x-4=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$19x=4$$

రెండు వైపులా 19తో భాగించండి.

$$x=\frac{4}{19}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{4}{19},y=-1$$