{l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=0$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$16x-10y=10$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 10yని కూడండి.

$$16x=10y+10$$

రెండు వైపులా 16తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

\frac{1}{16} సార్లు 10+10yని గుణించండి.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{5+5y}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -8x-6y=6.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

-8 సార్లు \frac{5+5y}{8}ని గుణించండి.

$$-5y-5-6y=6$$

-6yకు -5yని కూడండి.

$$-11y-5=6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5ని కూడండి.

$$-11y=11$$

రెండు వైపులా -11తో భాగించండి.

$$y=-1$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

\frac{5}{8} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{5}{8}కు \frac{5}{8}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=0,y=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

16x మరియు -8xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -8తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 16తో గుణించండి.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -128x-96y=96ని -128x+80y=-80 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

128xకు -128xని కూడండి. -128x మరియు 128x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$80y+96y=-80-96$$

96yకు 80yని కూడండి.

$$176y=-80-96$$

-96కు -80ని కూడండి.

$$176y=-176$$

రెండు వైపులా 176తో భాగించండి.

$$y=-1$$

-8x-6y=6లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

-6 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$-8x+6=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-8x=0$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=-1$$