{l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$15x+107y=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 107yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x=-107y+1$$

రెండు వైపులా 15తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

\frac{1}{15} సార్లు -107y+1ని గుణించండి.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-107y+1}{15} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

71 సార్లు \frac{-107y+1}{15}ని గుణించండి.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

179yకు -\frac{7597y}{15}ని కూడండి.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{71}{15}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{4912}{15}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{547}{614}$$

x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}లో yను \frac{547}{614} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{107}{15} సార్లు \frac{547}{614}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{58529}{9210}కు \frac{1}{15}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

15x మరియు 71xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 71తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 15తో గుణించండి.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 1065x+2685y=-4305ని 1065x+7597y=71 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

-1065xకు 1065xని కూడండి. 1065x మరియు -1065x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$7597y-2685y=71+4305$$

-2685yకు 7597yని కూడండి.

$$4912y=71+4305$$

4305కు 71ని కూడండి.

$$4912y=4376$$

రెండు వైపులా 4912తో భాగించండి.

$$y=\frac{547}{614}$$

71x+179y=-287లో yను \frac{547}{614} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

179 సార్లు \frac{547}{614}ని గుణించండి.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{97913}{614}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

రెండు వైపులా 71తో భాగించండి.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$