{l}{13x+20y=48}{20x+93y=1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$13x+20y=48$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 20yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$13x=-20y+48$$

రెండు వైపులా 13తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

\frac{1}{13} సార్లు -20y+48ని గుణించండి.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-20y+48}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

20 సార్లు \frac{-20y+48}{13}ని గుణించండి.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

93yకు -\frac{400y}{13}ని కూడండి.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{960}{13}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{809}{13}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{947}{809}$$

x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}లో yను -\frac{947}{809} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{20}{13} సార్లు -\frac{947}{809}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{18940}{10517}కు \frac{48}{13}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{4444}{809}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

13x మరియు 20xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 20తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 13తో గుణించండి.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 260x+1209y=13ని 260x+400y=960 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

-260xకు 260xని కూడండి. 260x మరియు -260x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$400y-1209y=960-13$$

-1209yకు 400yని కూడండి.

$$-809y=960-13$$

-13కు 960ని కూడండి.

$$-809y=947$$

రెండు వైపులా -809తో భాగించండి.

$$y=-\frac{947}{809}$$

20x+93y=1లో yను -\frac{947}{809} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

93 సార్లు -\frac{947}{809}ని గుణించండి.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{88071}{809}ని కూడండి.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

రెండు వైపులా 20తో భాగించండి.

$$x=\frac{4444}{809}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$