{l}{1x+3y=9}{3x+2y=8} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 3 y = 9 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+3y=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-3y+9$$

మరొక సమీకరణములో xను -3y+9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+2y=8.

$$3\left(-3y+9\right)+2y=8$$

3 సార్లు -3y+9ని గుణించండి.

$$-9y+27+2y=8$$

2yకు -9yని కూడండి.

$$-7y+27=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 27ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7y=-19$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$y=\frac{19}{7}$$

x=-3y+9లో yను \frac{19}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-3\times \frac{19}{7}+9$$

-3 సార్లు \frac{19}{7}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{57}{7}+9$$

-\frac{57}{7}కు 9ని కూడండి.

$$x=\frac{6}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3\times 3}&-\frac{3}{2-3\times 3}\\-\frac{3}{2-3\times 3}&\frac{1}{2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 9+\frac{3}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 9-\frac{1}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$3x+3\times 3y=3\times 9,3x+2y=8$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$3x+9y=27,3x+2y=8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3x+2y=8ని 3x+9y=27 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3x+9y-2y=27-8$$

-3xకు 3xని కూడండి. 3x మరియు -3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9y-2y=27-8$$

-2yకు 9yని కూడండి.

$$7y=27-8$$

-8కు 27ని కూడండి.

$$7y=19$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$y=\frac{19}{7}$$

3x+2y=8లో yను \frac{19}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x+2\times \frac{19}{7}=8$$

2 సార్లు \frac{19}{7}ని గుణించండి.

$$3x+\frac{38}{7}=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{38}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=\frac{18}{7}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{6}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$