{l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$0.5x+y=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.5x=-y+9$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

2 సార్లు -y+9ని గుణించండి.

$$x=-2y+18$$

మరొక సమీకరణములో xను -2y+18 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

1.6 సార్లు -2y+18ని గుణించండి.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

\frac{y}{5}కు -\frac{16y}{5}ని కూడండి.

$$-3y+28.8=13$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 28.8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3y=-15.8$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$y=\frac{79}{15}$$

x=-2y+18లో yను \frac{79}{15} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

-2 సార్లు \frac{79}{15}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

-\frac{158}{15}కు 18ని కూడండి.

$$x=\frac{112}{15}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

\frac{x}{2} మరియు \frac{8x}{5}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1.6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 0.5తో గుణించండి.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 0.8x+0.1y=6.5ని 0.8x+1.6y=14.4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

-\frac{4x}{5}కు \frac{4x}{5}ని కూడండి. \frac{4x}{5} మరియు -\frac{4x}{5} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

-\frac{y}{10}కు \frac{8y}{5}ని కూడండి.

$$1.5y=14.4-6.5$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -6.5కు 14.4ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$1.5y=7.9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 1.5తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{79}{15}$$

1.6x+0.2y=13లో yను \frac{79}{15} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా 0.2 సార్లు \frac{79}{15}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{79}{75}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 1.6తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{112}{15}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$