{l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

x_3, x_2ని పరిష్కరించండి

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న x_{3}ని వేరు చేయడం ద్వారా x_{3}ని పరిష్కరించండి.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{4x_{2}}{25}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.041తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

\frac{1000}{41} సార్లు -\frac{4x_{2}}{25}+0.9ని గుణించండి.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

మరొక సమీకరణములో x_{3}ను \frac{-160x_{2}+900}{41} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117.

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

-0.002 సార్లు \frac{-160x_{2}+900}{41}ని గుణించండి.

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{41x_{2}}{1000}కు \frac{8x_{2}}{1025}ని కూడండి.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{9}{205}ని కూడండి.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{2001}{41000}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}లో x_{2}ను \frac{2199}{667} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు x_{3}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{160}{41} సార్లు \frac{2199}{667}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{351840}{27347}కు \frac{900}{41}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

x_{3} మరియు x_{2} మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{41x_{3}}{1000} మరియు -\frac{x_{3}}{500}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -0.002తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 0.041తో గుణించండి.

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797ని -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

\frac{41x_{3}}{500000}కు -\frac{41x_{3}}{500000}ని కూడండి. -\frac{41x_{3}}{500000} మరియు \frac{41x_{3}}{500000} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

-\frac{1681x_{2}}{1000000}కు -\frac{x_{2}}{3125}ని కూడండి.

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -0.004797కు -0.0018ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -0.002001తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117లో x_{2}ను \frac{2199}{667} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు x_{3}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా 0.041 సార్లు \frac{2199}{667}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{90159}{667000}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

రెండు వైపులా -500తో గుణించండి.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$