{l}{-x-y=11}{-x+y=-1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - x - y = 11 } \\ { - x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-5$$

$$y=-6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-x-y=11,-x+y=-1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-x-y=11$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$-x=y+11$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=-\left(y+11\right)$$

-1 సార్లు y+11ని గుణించండి.

$$x=-y-11$$

మరొక సమీకరణములో xను -y-11 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -x+y=-1.

$$-\left(-y-11\right)+y=-1$$

-1 సార్లు -y-11ని గుణించండి.

$$y+11+y=-1$$

yకు yని కూడండి.

$$2y+11=-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 11ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y=-12$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=-6$$

x=-y-11లో yను -6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\left(-6\right)-11$$

-1 సార్లు -6ని గుణించండి.

$$x=6-11$$

6కు -11ని కూడండి.

$$x=-5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-5,y=-6$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-x-y=11,-x+y=-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 11-\frac{1}{2}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}\times 11+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-5,y=-6$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-x-y=11,-x+y=-1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -x+y=-1ని -x-y=11 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x+x-y-y=11+1$$

xకు -xని కూడండి. -x మరియు x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-y-y=11+1$$

-yకు -yని కూడండి.

$$-2y=11+1$$

1కు 11ని కూడండి.

$$-2y=12$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$y=-6$$

-x+y=-1లో yను -6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-x-6=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$-x=5$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=-5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-5,y=-6$$