{l}{-x-y=-2}{9x-2y=-15} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - x - y = - 2 } \\ { 9 x - 2 y = - 15 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-1$$

$$y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-x-y=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$-x=y-2$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=-\left(y-2\right)$$

-1 సార్లు y-2ని గుణించండి.

$$x=-y+2$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 9x-2y=-15.

$$9\left(-y+2\right)-2y=-15$$

9 సార్లు -y+2ని గుణించండి.

$$-9y+18-2y=-15$$

-2yకు -9yని కూడండి.

$$-11y+18=-15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 18ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-11y=-33$$

రెండు వైపులా -11తో భాగించండి.

$$y=3$$

x=-y+2లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-3+2$$

-3కు 2ని కూడండి.

$$x=-1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-1,y=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{9}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-15\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-2\right)+\frac{1}{11}\left(-15\right)\\-\frac{9}{11}\left(-2\right)-\frac{1}{11}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-1,y=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-x-y=-2,9x-2y=-15$$

-x మరియు 9xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 9తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి.

$$9\left(-1\right)x+9\left(-1\right)y=9\left(-2\right),-9x-\left(-2y\right)=-\left(-15\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-9x-9y=-18,-9x+2y=15$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -9x+2y=15ని -9x-9y=-18 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x+9x-9y-2y=-18-15$$

9xకు -9xని కూడండి. -9x మరియు 9x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-9y-2y=-18-15$$

-2yకు -9yని కూడండి.

$$-11y=-18-15$$

-15కు -18ని కూడండి.

$$-11y=-33$$

రెండు వైపులా -11తో భాగించండి.

$$y=3$$

9x-2y=-15లో yను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$9x-2\times 3=-15$$

-2 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$9x-6=-15$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$9x=-9$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$x=-1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-1,y=3$$