{l}{-7j+4k=43}{-8j-3k=87} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 j + 4 k = 43 } \\ { - 8 j - 3 k = 87 } \end{array} \right.$$

j, kని పరిష్కరించండి

$$j=-9$$

$$k=-5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-7j+4k=43,-8j-3k=87$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న jని వేరు చేయడం ద్వారా jని పరిష్కరించండి.

$$-7j+4k=43$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4kని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7j=-4k+43$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$j=-\frac{1}{7}\left(-4k+43\right)$$

-\frac{1}{7} సార్లు -4k+43ని గుణించండి.

$$j=\frac{4}{7}k-\frac{43}{7}$$

మరొక సమీకరణములో jను \frac{4k-43}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -8j-3k=87.

$$-8\left(\frac{4}{7}k-\frac{43}{7}\right)-3k=87$$

-8 సార్లు \frac{4k-43}{7}ని గుణించండి.

$$-\frac{32}{7}k+\frac{344}{7}-3k=87$$

-3kకు -\frac{32k}{7}ని కూడండి.

$$-\frac{53}{7}k+\frac{344}{7}=87$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{344}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{53}{7}k=\frac{265}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{53}{7}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$k=-5$$

j=\frac{4}{7}k-\frac{43}{7}లో kను -5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు jని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$j=\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{43}{7}$$

\frac{4}{7} సార్లు -5ని గుణించండి.

$$j=\frac{-20-43}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{20}{7}కు -\frac{43}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$j=-9$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$j=-9,k=-5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-7j+4k=43,-8j-3k=87$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&4\\-8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-7\left(-3\right)-4\left(-8\right)}&-\frac{4}{-7\left(-3\right)-4\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-7\left(-3\right)-4\left(-8\right)}&-\frac{7}{-7\left(-3\right)-4\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{53}&-\frac{4}{53}\\\frac{8}{53}&-\frac{7}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\87\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{53}\times 43-\frac{4}{53}\times 87\\\frac{8}{53}\times 43-\frac{7}{53}\times 87\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}j\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

j మరియు k మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$j=-9,k=-5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-7j+4k=43,-8j-3k=87$$

-7j మరియు -8jని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -8తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -7తో గుణించండి.

$$-8\left(-7\right)j-8\times 4k=-8\times 43,-7\left(-8\right)j-7\left(-3\right)k=-7\times 87$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$56j-32k=-344,56j+21k=-609$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 56j+21k=-609ని 56j-32k=-344 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$56j-56j-32k-21k=-344+609$$

-56jకు 56jని కూడండి. 56j మరియు -56j విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-32k-21k=-344+609$$

-21kకు -32kని కూడండి.

$$-53k=-344+609$$

609కు -344ని కూడండి.

$$-53k=265$$

రెండు వైపులా -53తో భాగించండి.

$$k=-5$$

-8j-3k=87లో kను -5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు jని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-8j-3\left(-5\right)=87$$

-3 సార్లు -5ని గుణించండి.

$$-8j+15=87$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-8j=72$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$j=-9$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$j=-9,k=-5$$