{l}{-5x-3y-9=0}{4x-18y-54=0} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 3 y - 9 = 0 } \\ { 4 x - 18 y - 54 = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=0$$

$$y=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-5x-3y-9=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9ని కూడండి.

$$-5x-3y=9$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$-5x=3y+9$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{5}\left(3y+9\right)$$

-\frac{1}{5} సార్లు 9+3yని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-3y-9}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x-18y-54=0.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}\right)-18y-54=0$$

4 సార్లు \frac{-3y-9}{5}ని గుణించండి.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{36}{5}-18y-54=0$$

-18yకు -\frac{12y}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{36}{5}-54=0$$

-54కు -\frac{36}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{306}{5}=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{306}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{102}{5}y=\frac{306}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{102}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-3$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{9}{5}$$

-\frac{3}{5} సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{9-9}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{9}{5}కు -\frac{9}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{5}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{1}{34}\\-\frac{2}{51}&-\frac{5}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 9+\frac{1}{34}\times 54\\-\frac{2}{51}\times 9-\frac{5}{102}\times 54\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=0,y=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

-5x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -5తో గుణించండి.

$$4\left(-5\right)x+4\left(-3\right)y+4\left(-9\right)=0,-5\times 4x-5\left(-18\right)y-5\left(-54\right)=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-20x-12y-36=0,-20x+90y+270=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -20x+90y+270=0ని -20x-12y-36=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-20x+20x-12y-90y-36-270=0$$

20xకు -20xని కూడండి. -20x మరియు 20x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-12y-90y-36-270=0$$

-90yకు -12yని కూడండి.

$$-102y-36-270=0$$

-270కు -36ని కూడండి.

$$-102y-306=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 306ని కూడండి.

$$-102y=306$$

రెండు వైపులా -102తో భాగించండి.

$$y=-3$$

4x-18y-54=0లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x-18\left(-3\right)-54=0$$

-18 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$4x+54-54=0$$

-54కు 54ని కూడండి.

$$4x=0$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=-3$$