{l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-yతో -5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8yని పొందడం కోసం 5y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$-5x+8y=2x$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7xని పొందడం కోసం -5x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-7x+8y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 6x+7 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$2y-6x-7=-2$$

రెండు వైపులా 7ని జోడించండి.

$$2y-6x=-2+7$$

5ని పొందడం కోసం -2 మరియు 7ని కూడండి.

$$2y-6x=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-7x+8y=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x=-8y$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

-\frac{1}{7} సార్లు -8yని గుణించండి.

$$x=\frac{8}{7}y$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{8y}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -6x+2y=5.

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

-6 సార్లు \frac{8y}{7}ని గుణించండి.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

2yకు -\frac{48y}{7}ని కూడండి.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{34}{7}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{35}{34}$$

x=\frac{8}{7}yలో yను -\frac{35}{34} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{8}{7} సార్లు -\frac{35}{34}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{20}{17}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-yతో -5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8yని పొందడం కోసం 5y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$-5x+8y=2x$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7xని పొందడం కోసం -5x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-7x+8y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 6x+7 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$2y-6x-7=-2$$

రెండు వైపులా 7ని జోడించండి.

$$2y-6x=-2+7$$

5ని పొందడం కోసం -2 మరియు 7ని కూడండి.

$$2y-6x=5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-yతో -5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-5x+5y+3y=2x$$

8yని పొందడం కోసం 5y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$-5x+8y=2x$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-5x+8y-2x=0$$

-7xని పొందడం కోసం -5x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-7x+8y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 6x+7 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$2y-6x-7=-2$$

రెండు వైపులా 7ని జోడించండి.

$$2y-6x=-2+7$$

5ని పొందడం కోసం -2 మరియు 7ని కూడండి.

$$2y-6x=5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

-7x మరియు -6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -7తో గుణించండి.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 42x-14y=-35ని 42x-48y=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

-42xకు 42xని కూడండి. 42x మరియు -42x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-48y+14y=35$$

14yకు -48yని కూడండి.

$$-34y=35$$

రెండు వైపులా -34తో భాగించండి.

$$y=-\frac{35}{34}$$

-6x+2y=5లో yను -\frac{35}{34} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

2 సార్లు -\frac{35}{34}ని గుణించండి.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{35}{17}ని కూడండి.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

రెండు వైపులా -6తో భాగించండి.

$$x=-\frac{20}{17}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$