{l}{-4x-4y=4}{6x+4y=-8} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 4 y = 4 } \\ { 6 x + 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-2$$

$$y=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-4x-4y=4,6x+4y=-8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-4x-4y=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4yని కూడండి.

$$-4x=4y+4$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{4}\left(4y+4\right)$$

-\frac{1}{4} సార్లు 4+4yని గుణించండి.

$$x=-y-1$$

మరొక సమీకరణములో xను -y-1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x+4y=-8.

$$6\left(-y-1\right)+4y=-8$$

6 సార్లు -y-1ని గుణించండి.

$$-6y-6+4y=-8$$

4yకు -6yని కూడండి.

$$-2y-6=-8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$-2y=-2$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$y=1$$

x=-y-1లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-1-1$$

-1కు -1ని కూడండి.

$$x=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-2,y=1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-4x-4y=4,6x+4y=-8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-4\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-4\times 4-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{-4\times 4-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{-4\times 4-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{4}{-4\times 4-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\left(-8\right)\\-\frac{3}{4}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-2,y=1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-4x-4y=4,6x+4y=-8$$

-4x మరియు 6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -4తో గుణించండి.

$$6\left(-4\right)x+6\left(-4\right)y=6\times 4,-4\times 6x-4\times 4y=-4\left(-8\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-24x-24y=24,-24x-16y=32$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -24x-16y=32ని -24x-24y=24 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-24x+24x-24y+16y=24-32$$

24xకు -24xని కూడండి. -24x మరియు 24x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-24y+16y=24-32$$

16yకు -24yని కూడండి.

$$-8y=24-32$$

-32కు 24ని కూడండి.

$$-8y=-8$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$y=1$$

6x+4y=-8లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6x+4=-8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=-12$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-2,y=1$$