{l}{-4x+y=29}{5x-11y=32} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 29 } \\ { 5 x - 11 y = 32 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-9$$

$$y=-7$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-4x+y=29,5x-11y=32$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-4x+y=29$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x=-y+29$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+29\right)$$

-\frac{1}{4} సార్లు -y+29ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{29}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-29+y}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x-11y=32.

$$5\left(\frac{1}{4}y-\frac{29}{4}\right)-11y=32$$

5 సార్లు \frac{-29+y}{4}ని గుణించండి.

$$\frac{5}{4}y-\frac{145}{4}-11y=32$$

-11yకు \frac{5y}{4}ని కూడండి.

$$-\frac{39}{4}y-\frac{145}{4}=32$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{145}{4}ని కూడండి.

$$-\frac{39}{4}y=\frac{273}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{39}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-7$$

x=\frac{1}{4}y-\frac{29}{4}లో yను -7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7\right)-\frac{29}{4}$$

\frac{1}{4} సార్లు -7ని గుణించండి.

$$x=\frac{-7-29}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{7}{4}కు -\frac{29}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-9$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-9,y=-7$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-4x+y=29,5x-11y=32$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\5&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{-4\left(-11\right)-5}&-\frac{1}{-4\left(-11\right)-5}\\-\frac{5}{-4\left(-11\right)-5}&-\frac{4}{-4\left(-11\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{5}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\32\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{39}\times 29-\frac{1}{39}\times 32\\-\frac{5}{39}\times 29-\frac{4}{39}\times 32\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-7\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-9,y=-7$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-4x+y=29,5x-11y=32$$

-4x మరియు 5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -4తో గుణించండి.

$$5\left(-4\right)x+5y=5\times 29,-4\times 5x-4\left(-11\right)y=-4\times 32$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-20x+5y=145,-20x+44y=-128$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -20x+44y=-128ని -20x+5y=145 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-20x+20x+5y-44y=145+128$$

20xకు -20xని కూడండి. -20x మరియు 20x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$5y-44y=145+128$$

-44yకు 5yని కూడండి.

$$-39y=145+128$$

128కు 145ని కూడండి.

$$-39y=273$$

రెండు వైపులా -39తో భాగించండి.

$$y=-7$$

5x-11y=32లో yను -7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x-11\left(-7\right)=32$$

-11 సార్లు -7ని గుణించండి.

$$5x+77=32$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 77ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-45$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=-9$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-9,y=-7$$