{l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5xని పొందడం కోసం -3x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-5x-y=-1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x+5yతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x-15y=x+y-30$$

రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7xని పొందడం కోసం -6x మరియు -xని జత చేయండి.

$$-7x-15y=y-30$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16yని పొందడం కోసం -15y మరియు -yని జత చేయండి.

$$-7x-16y=-30$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-5x-y=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$-5x=y-1$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

-\frac{1}{5} సార్లు y-1ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+1}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -7x-16y=-30.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

-7 సార్లు \frac{-y+1}{5}ని గుణించండి.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

-16yకు \frac{7y}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{73}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{143}{73}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}లో yను \frac{143}{73} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{5} సార్లు \frac{143}{73}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{143}{365}కు \frac{1}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{14}{73}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5xని పొందడం కోసం -3x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-5x-y=-1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x+5yతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x-15y=x+y-30$$

రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7xని పొందడం కోసం -6x మరియు -xని జత చేయండి.

$$-7x-15y=y-30$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16yని పొందడం కోసం -15y మరియు -yని జత చేయండి.

$$-7x-16y=-30$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5xని పొందడం కోసం -3x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-5x-y=-1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x+5yతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x-15y=x+y-30$$

రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7xని పొందడం కోసం -6x మరియు -xని జత చేయండి.

$$-7x-15y=y-30$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16yని పొందడం కోసం -15y మరియు -yని జత చేయండి.

$$-7x-16y=-30$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

-5x మరియు -7xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -7తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -5తో గుణించండి.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 35x+80y=150ని 35x+7y=7 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

-35xకు 35xని కూడండి. 35x మరియు -35x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$7y-80y=7-150$$

-80yకు 7yని కూడండి.

$$-73y=7-150$$

-150కు 7ని కూడండి.

$$-73y=-143$$

రెండు వైపులా -73తో భాగించండి.

$$y=\frac{143}{73}$$

-7x-16y=-30లో yను \frac{143}{73} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

-16 సార్లు \frac{143}{73}ని గుణించండి.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{2288}{73}ని కూడండి.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$x=-\frac{14}{73}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$