{l}{-3a+b=4}{-9a+5b=-1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 a + b = 4 } \\ { - 9 a + 5 b = - 1 } \end{array} \right.$$

a, bని పరిష్కరించండి

$$a = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$b = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-3a+b=4,-9a+5b=-1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న aని వేరు చేయడం ద్వారా aని పరిష్కరించండి.

$$-3a+b=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3a=-b+4$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-b+4\right)$$

-\frac{1}{3} సార్లు -b+4ని గుణించండి.

$$a=\frac{1}{3}b-\frac{4}{3}$$

మరొక సమీకరణములో aను \frac{-4+b}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -9a+5b=-1.

$$-9\left(\frac{1}{3}b-\frac{4}{3}\right)+5b=-1$$

-9 సార్లు \frac{-4+b}{3}ని గుణించండి.

$$-3b+12+5b=-1$$

5bకు -3bని కూడండి.

$$2b+12=-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 12ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2b=-13$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$b=-\frac{13}{2}$$

a=\frac{1}{3}b-\frac{4}{3}లో bను -\frac{13}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a=\frac{1}{3}\left(-\frac{13}{2}\right)-\frac{4}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{3} సార్లు -\frac{13}{2}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$a=-\frac{13}{6}-\frac{4}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{13}{6}కు -\frac{4}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$a=-\frac{7}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=-\frac{7}{2},b=-\frac{13}{2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-3a+b=4,-9a+5b=-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&1\\-9&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-3\times 5-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-3\times 5-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-3\times 5-\left(-9\right)}&-\frac{3}{-3\times 5-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{3}{2}\times 4+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}\\-\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

a మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a=-\frac{7}{2},b=-\frac{13}{2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-3a+b=4,-9a+5b=-1$$

-3a మరియు -9aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -9తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి.

$$-9\left(-3\right)a-9b=-9\times 4,-3\left(-9\right)a-3\times 5b=-3\left(-1\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$27a-9b=-36,27a-15b=3$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 27a-15b=3ని 27a-9b=-36 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$27a-27a-9b+15b=-36-3$$

-27aకు 27aని కూడండి. 27a మరియు -27a విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-9b+15b=-36-3$$

15bకు -9bని కూడండి.

$$6b=-36-3$$

-3కు -36ని కూడండి.

$$6b=-39$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$b=-\frac{13}{2}$$

-9a+5b=-1లో bను -\frac{13}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-9a+5\left(-\frac{13}{2}\right)=-1$$

5 సార్లు -\frac{13}{2}ని గుణించండి.

$$-9a-\frac{65}{2}=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{65}{2}ని కూడండి.

$$-9a=\frac{63}{2}$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$a=-\frac{7}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=-\frac{7}{2},b=-\frac{13}{2}$$