{l}{-2x+4y=14}{x-4y=-7} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 4 y = 14 } \\ { x - 4 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-7$$

$$y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-2x+4y=14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x=-4y+14$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+14\right)$$

-\frac{1}{2} సార్లు -4y+14ని గుణించండి.

$$x=2y-7$$

మరొక సమీకరణములో xను 2y-7 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-4y=-7.

$$2y-7-4y=-7$$

-4yకు 2yని కూడండి.

$$-2y-7=-7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7ని కూడండి.

$$-2y=0$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$y=0$$

x=2y-7లో yను 0 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-7$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-7,y=0$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{4}{-2\left(-4\right)-4}\\-\frac{1}{-2\left(-4\right)-4}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-7\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14-\left(-7\right)\\-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\0\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-7,y=0$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-2x+4y=14,x-4y=-7$$

-2x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి.

$$-2x+4y=14,-2x-2\left(-4\right)y=-2\left(-7\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-2x+4y=14,-2x+8y=14$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -2x+8y=14ని -2x+4y=14 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x+2x+4y-8y=14-14$$

2xకు -2xని కూడండి. -2x మరియు 2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$4y-8y=14-14$$

-8yకు 4yని కూడండి.

$$-4y=14-14$$

-14కు 14ని కూడండి.

$$-4y=0$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$y=0$$

x-4y=-7లో yను 0 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-7$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-7,y=0$$