{l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

B, Aని పరిష్కరించండి

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న Bని వేరు చేయడం ద్వారా Bని పరిష్కరించండి.

$$-15B-3A=-14$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3Aని కూడండి.

$$-15B=3A-14$$

రెండు వైపులా -15తో భాగించండి.

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

-\frac{1}{15} సార్లు 3A-14ని గుణించండి.

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

మరొక సమీకరణములో Bను -\frac{A}{5}+\frac{14}{15} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, B-5A=7.

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

-5Aకు -\frac{A}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{14}{15}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{26}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$A=-\frac{7}{6}$$

B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}లో Aను -\frac{7}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Bని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{5} సార్లు -\frac{7}{6}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{7}{30}కు \frac{14}{15}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$B=\frac{7}{6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

B మరియు A మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

-15B మరియు Bని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -15తో గుణించండి.

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -15B+75A=-105ని -15B-3A=-14 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

15Bకు -15Bని కూడండి. -15B మరియు 15B విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-3A-75A=-14+105$$

-75Aకు -3Aని కూడండి.

$$-78A=-14+105$$

105కు -14ని కూడండి.

$$-78A=91$$

రెండు వైపులా -78తో భాగించండి.

$$A=-\frac{7}{6}$$

B-5A=7లో Aను -\frac{7}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Bని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

-5 సార్లు -\frac{7}{6}ని గుణించండి.

$$B+\frac{35}{6}=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{35}{6}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$B=\frac{7}{6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$