{l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

A, Bని పరిష్కరించండి

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న Aని వేరు చేయడం ద్వారా Aని పరిష్కరించండి.

$$-15A+3B=21$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3Bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-15A=-3B+21$$

రెండు వైపులా -15తో భాగించండి.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

-\frac{1}{15} సార్లు -3B+21ని గుణించండి.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

మరొక సమీకరణములో Aను \frac{-7+B}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3A-15B=-14.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

-3 సార్లు \frac{-7+B}{5}ని గుణించండి.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

-15Bకు -\frac{3B}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{21}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{78}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$B=\frac{7}{6}$$

A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}లో Bను \frac{7}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{5} సార్లు \frac{7}{6}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{7}{30}కు -\frac{7}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$A=-\frac{7}{6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

A మరియు B మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

-15A మరియు -3Aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -15తో గుణించండి.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 45A+225B=210ని 45A-9B=-63 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

-45Aకు 45Aని కూడండి. 45A మరియు -45A విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-9B-225B=-63-210$$

-225Bకు -9Bని కూడండి.

$$-234B=-63-210$$

-210కు -63ని కూడండి.

$$-234B=-273$$

రెండు వైపులా -234తో భాగించండి.

$$B=\frac{7}{6}$$

-3A-15B=-14లో Bను \frac{7}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

-15 సార్లు \frac{7}{6}ని గుణించండి.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{35}{2}ని కూడండి.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$A=-\frac{7}{6}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$