{l}{-14y+3x=8}{24quad8x-9y=7} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 14 y + 3 x = 8 } \\ { 24 \quad 8 x - 9 y = 7 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{26}{2661}\approx 0.009770763$$

$$y=-\frac{505}{887}\approx -0.569334837$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$-14y+3x=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-14y=-3x+8$$

రెండు వైపులా -14తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{14}\left(-3x+8\right)$$

-\frac{1}{14} సార్లు -3x+8ని గుణించండి.

$$y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{3x}{14}-\frac{4}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -9y+192x=7.

$$-9\left(\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}\right)+192x=7$$

-9 సార్లు \frac{3x}{14}-\frac{4}{7}ని గుణించండి.

$$-\frac{27}{14}x+\frac{36}{7}+192x=7$$

192xకు -\frac{27x}{14}ని కూడండి.

$$\frac{2661}{14}x+\frac{36}{7}=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{36}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{2661}{14}x=\frac{13}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{2661}{14}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{26}{2661}$$

y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}లో xను \frac{26}{2661} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=\frac{3}{14}\times \frac{26}{2661}-\frac{4}{7}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{3}{14} సార్లు \frac{26}{2661}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=\frac{13}{6209}-\frac{4}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{13}{6209}కు -\frac{4}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=-\frac{505}{887}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{192}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{14}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}&\frac{1}{887}\\-\frac{3}{887}&\frac{14}{2661}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}\times 8+\frac{1}{887}\times 7\\-\frac{3}{887}\times 8+\frac{14}{2661}\times 7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{505}{887}\\\frac{26}{2661}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

-14y మరియు -9yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -9తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -14తో గుణించండి.

$$-9\left(-14\right)y-9\times 3x=-9\times 8,-14\left(-9\right)y-14\times 192x=-14\times 7$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$126y-27x=-72,126y-2688x=-98$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 126y-2688x=-98ని 126y-27x=-72 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$126y-126y-27x+2688x=-72+98$$

-126yకు 126yని కూడండి. 126y మరియు -126y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-27x+2688x=-72+98$$

2688xకు -27xని కూడండి.

$$2661x=-72+98$$

98కు -72ని కూడండి.

$$2661x=26$$

రెండు వైపులా 2661తో భాగించండి.

$$x=\frac{26}{2661}$$

-9y+192x=7లో xను \frac{26}{2661} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-9y+192\times \frac{26}{2661}=7$$

192 సార్లు \frac{26}{2661}ని గుణించండి.

$$-9y+\frac{1664}{887}=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1664}{887}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9y=\frac{4545}{887}$$

రెండు వైపులా -9తో భాగించండి.

$$y=-\frac{505}{887}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$