{l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=-1$$

$$y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$-10y+9x=-9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-10y=-9x-9$$

రెండు వైపులా -10తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

-\frac{1}{10} సార్లు -9x-9ని గుణించండి.

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{9+9x}{10} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 10y+5x=-5.

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

10 సార్లు \frac{9+9x}{10}ని గుణించండి.

$$9x+9+5x=-5$$

5xకు 9xని కూడండి.

$$14x+9=-5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$14x=-14$$

రెండు వైపులా 14తో భాగించండి.

$$x=-1$$

y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}లో xను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

\frac{9}{10} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{9}{10}కు \frac{9}{10}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=0,x=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=0,x=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

-10y మరియు 10yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 10తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -10తో గుణించండి.

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -100y-50x=50ని -100y+90x=-90 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

100yకు -100yని కూడండి. -100y మరియు 100y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$90x+50x=-90-50$$

50xకు 90xని కూడండి.

$$140x=-90-50$$

-50కు -90ని కూడండి.

$$140x=-140$$

రెండు వైపులా 140తో భాగించండి.

$$x=-1$$

10y+5x=-5లో xను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

5 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$10y-5=-5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5ని కూడండి.

$$10y=0$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$y=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=0,x=-1$$