{l}{-0.1x-0.7y-610=0}{-0.8x+0.5y+920=0} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.1 x - 0.7 y - 610 = 0 } \\ { - 0.8 x + 0.5 y + 920 = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{33900}{61} = 555\frac{45}{61} \approx 555.737704918$$

$$y = -\frac{58000}{61} = -950\frac{50}{61} \approx -950.819672131$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-0.1x-0.7y-610=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 610ని కూడండి.

$$-0.1x-0.7y=610$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{7y}{10}ని కూడండి.

$$-0.1x=0.7y+610$$

రెండు వైపులా -10తో గుణించండి.

$$x=-10\left(0.7y+610\right)$$

-10 సార్లు \frac{7y}{10}+610ని గుణించండి.

$$x=-7y-6100$$

మరొక సమీకరణములో xను -7y-6100 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -0.8x+0.5y+920=0.

$$-0.8\left(-7y-6100\right)+0.5y+920=0$$

-0.8 సార్లు -7y-6100ని గుణించండి.

$$5.6y+4880+0.5y+920=0$$

\frac{y}{2}కు \frac{28y}{5}ని కూడండి.

$$6.1y+4880+920=0$$

920కు 4880ని కూడండి.

$$6.1y+5800=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5800ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6.1y=-5800$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 6.1తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

x=-7y-6100లో yను -\frac{58000}{61} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-7\left(-\frac{58000}{61}\right)-6100$$

-7 సార్లు -\frac{58000}{61}ని గుణించండి.

$$x=\frac{406000}{61}-6100$$

\frac{406000}{61}కు -6100ని కూడండి.

$$x=\frac{33900}{61}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.1&-0.7\\-0.8&0.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.5}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{-0.7}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\\-\frac{-0.8}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}&-\frac{0.1}{-0.1\times 0.5-\left(-0.7\left(-0.8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}&-\frac{70}{61}\\-\frac{80}{61}&\frac{10}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}610\\-920\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{61}\times 610-\frac{70}{61}\left(-920\right)\\-\frac{80}{61}\times 610+\frac{10}{61}\left(-920\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33900}{61}\\-\frac{58000}{61}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-0.1x-0.7y-610=0,-0.8x+0.5y+920=0$$

-\frac{x}{10} మరియు -\frac{4x}{5}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -0.8తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -0.1తో గుణించండి.

$$-0.8\left(-0.1\right)x-0.8\left(-0.7\right)y-0.8\left(-610\right)=0,-0.1\left(-0.8\right)x-0.1\times 0.5y-0.1\times 920=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$0.08x+0.56y+488=0,0.08x-0.05y-92=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 0.08x-0.05y-92=0ని 0.08x+0.56y+488=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.08x-0.08x+0.56y+0.05y+488+92=0$$

-\frac{2x}{25}కు \frac{2x}{25}ని కూడండి. \frac{2x}{25} మరియు -\frac{2x}{25} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$0.56y+0.05y+488+92=0$$

\frac{y}{20}కు \frac{14y}{25}ని కూడండి.

$$0.61y+488+92=0$$

92కు 488ని కూడండి.

$$0.61y+580=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 580ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.61y=-580$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.61తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{58000}{61}$$

-0.8x+0.5y+920=0లో yను -\frac{58000}{61} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-0.8x+0.5\left(-\frac{58000}{61}\right)+920=0$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా 0.5 సార్లు -\frac{58000}{61}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$-0.8x-\frac{29000}{61}+920=0$$

920కు -\frac{29000}{61}ని కూడండి.

$$-0.8x+\frac{27120}{61}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{27120}{61}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-0.8x=-\frac{27120}{61}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -0.8తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{33900}{61}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{33900}{61},y=-\frac{58000}{61}$$