{l}{(7+D=11)}{(4+D)^2=3^4} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { ( 7 + D = 11 ) } \\ { ( 4 + D ) ^ { 2 } = 3 ^ { 4 } } \end{array} \right.$$

Dని పరిష్కరించండి

$$D=5$$

$$D=-13$$

ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

\left(4+D\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$16+8D+D^{2}=3^{4}$$

4 యొక్క ఘాతంలో 3 ఉంచి గణించి, 81ని పొందండి.

$$16+8D+D^{2}=81$$

రెండు భాగాల నుండి 81ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$16+8D+D^{2}-81=0$$

-65ని పొందడం కోసం 81ని 16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-65+8D+D^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$D^{2}+8D-65=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, D^{2}+\left(a+b\right)D+ab=\left(D+a\right)\left(D+b\right) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి D^{2}+8D-65ని ఫ్యాక్టర్ చేయండి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=8 ab=-65$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -65ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,65 -5,13$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+65=64 -5+13=8$$

సమ్ 8ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-5 b=13$$

పొందిన విలువలను ఉపయోగించి ఫ్యాక్టర్ చేసిన సమీకరణం \left(D+a\right)\left(D+b\right)ను తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(D-5\right)\left(D+13\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, D-5=0 మరియు D+13=0ని పరిష్కరించండి.

$$D=5 D=-13$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

\left(4+D\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$16+8D+D^{2}=3^{4}$$

4 యొక్క ఘాతంలో 3 ఉంచి గణించి, 81ని పొందండి.

$$16+8D+D^{2}=81$$

రెండు భాగాల నుండి 81ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$16+8D+D^{2}-81=0$$

-65ని పొందడం కోసం 81ని 16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-65+8D+D^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$D^{2}+8D-65=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును D^{2}+aD+bD-65 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=8 ab=1\left(-65\right)=-65$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -65ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,65 -5,13$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+65=64 -5+13=8$$

సమ్ 8ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-5 b=13$$

\left(D^{2}-5D\right)+\left(13D-65\right)ని D^{2}+8D-65 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(D^{2}-5D\right)+\left(13D-65\right)$$

మొదటి సమూహంలో D మరియు రెండవ సమూహంలో 13 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$D\left(D-5\right)+13\left(D-5\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ D-5ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(D-5\right)\left(D+13\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, D-5=0 మరియు D+13=0ని పరిష్కరించండి.

$$D=5 D=-13$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

\left(4+D\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$16+8D+D^{2}=3^{4}$$

4 యొక్క ఘాతంలో 3 ఉంచి గణించి, 81ని పొందండి.

$$16+8D+D^{2}=81$$

రెండు భాగాల నుండి 81ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$16+8D+D^{2}-81=0$$

-65ని పొందడం కోసం 81ని 16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-65+8D+D^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$D^{2}+8D-65=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1, b స్థానంలో 8 మరియు c స్థానంలో -65 ప్రతిక్షేపించండి.

$$D=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-65\right)}}{2}$$

8 వర్గము.

$$D=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-65\right)}}{2}$$

-4 సార్లు -65ని గుణించండి.

$$D=\frac{-8±\sqrt{64+260}}{2}$$

260కు 64ని కూడండి.

$$D=\frac{-8±\sqrt{324}}{2}$$

324 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$D=\frac{-8±18}{2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి D=\frac{-8±18}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 18కు -8ని కూడండి.

$$D=\frac{10}{2}$$

2తో 10ని భాగించండి.

$$D=5$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి D=\frac{-8±18}{2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 18ని -8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$D=-\frac{26}{2}$$

2తో -26ని భాగించండి.

$$D=-13$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$D=5 D=-13$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

\left(4+D\right)^{2}ని విస్తరించడం కోసం ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ఉపయోగించండి.

$$16+8D+D^{2}=3^{4}$$

4 యొక్క ఘాతంలో 3 ఉంచి గణించి, 81ని పొందండి.

$$16+8D+D^{2}=81$$

రెండు భాగాల నుండి 16ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8D+D^{2}=81-16$$

65ని పొందడం కోసం 16ని 81 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8D+D^{2}=65$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$D^{2}+8D=65$$

x రాశి యొక్క గుణకము 8ని 2తో భాగించి 4ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి 4 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$D^{2}+8D+4^{2}=65+4^{2}$$

4 వర్గము.

$$D^{2}+8D+16=65+16$$

16కు 65ని కూడండి.

$$D^{2}+8D+16=81$$

కారకం D^{2}+8D+16. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(D+4\right)^{2}=81$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(D+4\right)^{2}}=\sqrt{81}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$D+4=9 D+4=-9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$D=5 D=-13$$