{l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

y, zని పరిష్కరించండి

$$y=18$$

$$z=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$y+2z=4\times 3$$

12ని పొందడం కోసం 4 మరియు 3ని గుణించండి.

$$y+2z=12$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

14ని పొందడం కోసం 2 మరియు 7ని గుణించండి.

$$5y+14z=48$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y+2z=12$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2zని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-2z+12$$

మరొక సమీకరణములో yను -2z+12 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

5 సార్లు -2z+12ని గుణించండి.

$$-10z+60+14z=48$$

14zకు -10zని కూడండి.

$$4z+60=48$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 60ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4z=-12$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$z=-3$$

y=-2z+12లో zను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

-2 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$y=6+12$$

6కు 12ని కూడండి.

$$y=18$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=18,z=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$y+2z=4\times 3$$

12ని పొందడం కోసం 4 మరియు 3ని గుణించండి.

$$y+2z=12$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

14ని పొందడం కోసం 2 మరియు 7ని గుణించండి.

$$5y+14z=48$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

y మరియు z మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=18,z=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$y+2z=4\times 3$$

12ని పొందడం కోసం 4 మరియు 3ని గుణించండి.

$$y+2z=12$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

14ని పొందడం కోసం 2 మరియు 7ని గుణించండి.

$$5y+14z=48$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

y మరియు 5yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 5y+14z=48ని 5y+10z=60 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

-5yకు 5yని కూడండి. 5y మరియు -5y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10z-14z=60-48$$

-14zకు 10zని కూడండి.

$$-4z=60-48$$

-48కు 60ని కూడండి.

$$-4z=12$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$z=-3$$

5y+14z=48లో zను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

14 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$5y-42=48$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 42ని కూడండి.

$$5y=90$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$y=18$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=18,z=-3$$