{l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది \frac{4}{3}కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 2\left(3x-4\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

y+1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2y+2=3x-4$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y+2-3x=-4$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y-3x=-4-2$$

-6ని పొందడం కోసం 2ని -4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y-3x=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -\frac{11}{3}కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3x+11తో గుణించండి.

$$5x+y=3x+11$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+y-3x=11$$

2xని పొందడం కోసం 5x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$2x+y=11$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$2y-3x=-6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3xని కూడండి.

$$2y=3x-6$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -6+3xని గుణించండి.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{3x}{2}-3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

2xకు \frac{3x}{2}ని కూడండి.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$\frac{7}{2}x=14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=4$$

y=\frac{3}{2}x-3లో xను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

\frac{3}{2} సార్లు 4ని గుణించండి.

$$y=6-3$$

6కు -3ని కూడండి.

$$y=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=3,x=4$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది \frac{4}{3}కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 2\left(3x-4\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

y+1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2y+2=3x-4$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y+2-3x=-4$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y-3x=-4-2$$

-6ని పొందడం కోసం 2ని -4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y-3x=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -\frac{11}{3}కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3x+11తో గుణించండి.

$$5x+y=3x+11$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+y-3x=11$$

2xని పొందడం కోసం 5x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$2x+y=11$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=3,x=4$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది \frac{4}{3}కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 2\left(3x-4\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

y+1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2y+2=3x-4$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y+2-3x=-4$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y-3x=-4-2$$

-6ని పొందడం కోసం 2ని -4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y-3x=-6$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -\frac{11}{3}కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3x+11తో గుణించండి.

$$5x+y=3x+11$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+y-3x=11$$

2xని పొందడం కోసం 5x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$2x+y=11$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

2y మరియు yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2y+4x=22ని 2y-3x=-6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

-2yకు 2yని కూడండి. 2y మరియు -2y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-3x-4x=-6-22$$

-4xకు -3xని కూడండి.

$$-7x=-6-22$$

-22కు -6ని కూడండి.

$$-7x=-28$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$x=4$$

y+2x=11లో xను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y+2\times 4=11$$

2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$y+8=11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=3,x=4$$