{l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=13$$

$$y=11$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

x-3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

y-7తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-6=5y-35$$

రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-6-5y=-35$$

రెండు వైపులా 6ని జోడించండి.

$$2x-5y=-35+6$$

-29ని పొందడం కోసం -35 మరియు 6ని కూడండి.

$$2x-5y=-29$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 13yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11x-13y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x-5y=-29$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 5yని కూడండి.

$$2x=5y-29$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు 5y-29ని గుణించండి.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{5y-29}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 11x-13y=0.

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

11 సార్లు \frac{5y-29}{2}ని గుణించండి.

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

-13yకు \frac{55y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{319}{2}ని కూడండి.

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{29}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=11$$

x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}లో yను 11 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

\frac{5}{2} సార్లు 11ని గుణించండి.

$$x=\frac{55-29}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{55}{2}కు -\frac{29}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=13$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=13,y=11$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

x-3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

y-7తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-6=5y-35$$

రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-6-5y=-35$$

రెండు వైపులా 6ని జోడించండి.

$$2x-5y=-35+6$$

-29ని పొందడం కోసం -35 మరియు 6ని కూడండి.

$$2x-5y=-29$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 13yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11x-13y=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=13,y=11$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

x-3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

y-7తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-6=5y-35$$

రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-6-5y=-35$$

రెండు వైపులా 6ని జోడించండి.

$$2x-5y=-35+6$$

-29ని పొందడం కోసం -35 మరియు 6ని కూడండి.

$$2x-5y=-29$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 13yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11x-13y=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

2x మరియు 11xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 11తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 22x-26y=0ని 22x-55y=-319 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

-22xకు 22xని కూడండి. 22x మరియు -22x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-55y+26y=-319$$

26yకు -55yని కూడండి.

$$-29y=-319$$

రెండు వైపులా -29తో భాగించండి.

$$y=11$$

11x-13y=0లో yను 11 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$11x-13\times 11=0$$

-13 సార్లు 11ని గుణించండి.

$$11x-143=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 143ని కూడండి.

$$11x=143$$

రెండు వైపులా 11తో భాగించండి.

$$x=13$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=13,y=11$$