{l}{x/36-y=21}{x-y/20=16} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 36తో గుణించండి.

$$x-36y=756$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 20తో గుణించండి.

$$20x-y=320$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-36y=756$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 36yని కూడండి.

$$x=36y+756$$

మరొక సమీకరణములో xను 756+36y స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 20x-y=320.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

20 సార్లు 756+36yని గుణించండి.

$$720y+15120-y=320$$

-yకు 720yని కూడండి.

$$719y+15120=320$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15120ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$719y=-14800$$

రెండు వైపులా 719తో భాగించండి.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

x=36y+756లో yను -\frac{14800}{719} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

36 సార్లు -\frac{14800}{719}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

-\frac{532800}{719}కు 756ని కూడండి.

$$x=\frac{10764}{719}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 36తో గుణించండి.

$$x-36y=756$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 20తో గుణించండి.

$$20x-y=320$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 36తో గుణించండి.

$$x-36y=756$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 20తో గుణించండి.

$$20x-y=320$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

x మరియు 20xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 20తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 20x-y=320ని 20x-720y=15120 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

-20xకు 20xని కూడండి. 20x మరియు -20x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-720y+y=15120-320$$

yకు -720yని కూడండి.

$$-719y=15120-320$$

-320కు 15120ని కూడండి.

$$-719y=14800$$

రెండు వైపులా -719తో భాగించండి.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

20x-y=320లో yను -\frac{14800}{719} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{14800}{719}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

రెండు వైపులా 20తో భాగించండి.

$$x=\frac{10764}{719}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$