{l}{x^2/a+y^2/b=1}{y=2x+6} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { a } + \frac { y ^ { 2 } } { b } = 1 } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&\left(a\geq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a>0\text{ and }b>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b\neq 0\text{ and }b<36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }b<0\text{ and }a>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b>0\text{ and }b\neq 36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a<0\text{ and }b>0\right)\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను మరియు చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా abతో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము a,b.

$$bx^{2}+ay^{2}=ab$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-2x=6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y-2x=6,bx^{2}+ay^{2}=ab$$

సమాన గుర్తు ఎడమ వైపున yని వేరు చేయడం ద్వారా y కోసం y-2x=6ని పరిష్కరించండి.

$$y-2x=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=2x+6$$

మరొక సమీకరణములో yను 2x+6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, bx^{2}+ay^{2}=ab.

$$bx^{2}+a\left(2x+6\right)^{2}=ab$$

2x+6 వర్గము.

$$bx^{2}+a\left(4x^{2}+24x+36\right)=ab$$

a సార్లు 4x^{2}+24x+36ని గుణించండి.

$$bx^{2}+4ax^{2}+24ax+36a=ab$$

4ax^{2}కు bx^{2}ని కూడండి.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a=ab$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి abని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a-ab=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో b+a\times 2^{2}, b స్థానంలో a\times 6\times 2\times 2 మరియు c స్థానంలో a\left(36-b\right) ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{\left(24a\right)^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

a\times 6\times 2\times 2 వర్గము.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

-4 సార్లు b+a\times 2^{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}+\left(-16a-4b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

-4b-16a సార్లు a\left(36-b\right)ని గుణించండి.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4a\left(36-b\right)\left(4a+b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

-4\left(b+4a\right)a\left(36-b\right)కు 576a^{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{-24a±\sqrt{4ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

4ab\left(-36+4a+b\right) వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

2 సార్లు b+a\times 2^{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}కు -24aని కూడండి.

$$x=\frac{2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

2b+8aతో -24a+2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}ని భాగించండి.

$$x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}ని -24a నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

2b+8aతో -24a-2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}ని భాగించండి.

$$x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

x కోసం రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి: \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} మరియు -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a}. సమీకరణం y=2x+6లో \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} బదులుగా xతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణాలకు సరిపోయే విధంగా yకు సంబంధితంగా ఉండే విలువను కనుగొనండి.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6$$

ఇప్పుడు సమీకరణము y=2x+6లో -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} బదులుగా xతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణములకు సరిపోయే విధంగా yకు సంబంధితంగా ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

$$y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6,x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{ or }y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6,x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\neq 0\text{ and }b\neq 0\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$