{l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

ప్రతిక్షేపణను మరియు చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 36తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 9,4.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

సమాన గుర్తు ఎడమ వైపున xని వేరు చేయడం ద్వారా x కోసం 3x+4y=1ని పరిష్కరించండి.

$$3x+4y=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-4y+1$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 9y^{2}+4x^{2}=36.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} వర్గము.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

4 సార్లు \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}ని గుణించండి.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

\frac{64}{9}y^{2}కు 9y^{2}ని కూడండి.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 36ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}, b స్థానంలో 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 మరియు c స్థానంలో -\frac{320}{9} ప్రతిక్షేపించండి.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 వర్గము.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

-4 సార్లు 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}ని గుణించండి.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{580}{9} సార్లు -\frac{320}{9}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{185600}{81}కు \frac{1024}{81}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

2304 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం \frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

2 సార్లు 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}ని గుణించండి.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 48కు \frac{32}{9}ని కూడండి.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{290}{9} యొక్క విలోమరాశులను \frac{464}{9}తో గుణించడం ద్వారా \frac{290}{9}తో \frac{464}{9}ని భాగించండి.

$$y=\frac{8}{5}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 48ని \frac{32}{9} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{290}{9} యొక్క విలోమరాశులను -\frac{400}{9}తో గుణించడం ద్వారా \frac{290}{9}తో -\frac{400}{9}ని భాగించండి.

$$y=-\frac{40}{29}$$

y కోసం రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి: \frac{8}{5} మరియు -\frac{40}{29}. సమీకరణం x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}లో \frac{8}{5} బదులుగా yతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణాలకు సరిపోయే విధంగా xకు సంబంధితంగా ఉండే విలువను కనుగొనండి.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{4}{3} సార్లు \frac{8}{5}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3}కు -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}ని కూడండి.

$$x=-\frac{9}{5}$$

ఇప్పుడు సమీకరణము x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}లో -\frac{40}{29} బదులుగా yతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణములకు సరిపోయే విధంగా xకు సంబంధితంగా ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{4}{3} సార్లు -\frac{40}{29}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3}కు -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right)ని కూడండి.

$$x=\frac{63}{29}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$