{l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 20తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

x+2తో 10ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

y-5తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0ని పొందడం కోసం 20ని 20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x+4y=5x+20$$

రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x+4y-5x=20$$

5xని పొందడం కోసం 10x మరియు -5xని జత చేయండి.

$$5x+4y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$3x+3y=x-1+9$$

8ని పొందడం కోసం -1 మరియు 9ని కూడండి.

$$3x+3y=x+8$$

రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3y-x=8$$

2xని పొందడం కోసం 3x మరియు -xని జత చేయండి.

$$2x+3y=8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+4y=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-4y+20$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -4y+20ని గుణించండి.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{4y}{5}+4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

2 సార్లు -\frac{4y}{5}+4ని గుణించండి.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

3yకు -\frac{8y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{7}{5}y=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=0$$

x=-\frac{4}{5}y+4లో yను 0 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=0$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 20తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

x+2తో 10ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

y-5తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0ని పొందడం కోసం 20ని 20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x+4y=5x+20$$

రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x+4y-5x=20$$

5xని పొందడం కోసం 10x మరియు -5xని జత చేయండి.

$$5x+4y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$3x+3y=x-1+9$$

8ని పొందడం కోసం -1 మరియు 9ని కూడండి.

$$3x+3y=x+8$$

రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3y-x=8$$

2xని పొందడం కోసం 3x మరియు -xని జత చేయండి.

$$2x+3y=8$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=4,y=0$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 20తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

x+2తో 10ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

y-5తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

0ని పొందడం కోసం 20ని 20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x+4y=5x+20$$

రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x+4y-5x=20$$

5xని పొందడం కోసం 10x మరియు -5xని జత చేయండి.

$$5x+4y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$3x+3y=x-1+9$$

8ని పొందడం కోసం -1 మరియు 9ని కూడండి.

$$3x+3y=x+8$$

రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3y-x=8$$

2xని పొందడం కోసం 3x మరియు -xని జత చేయండి.

$$2x+3y=8$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

5x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10x+15y=40ని 10x+8y=40 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

-10xకు 10xని కూడండి. 10x మరియు -10x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8y-15y=40-40$$

-15yకు 8yని కూడండి.

$$-7y=40-40$$

-40కు 40ని కూడండి.

$$-7y=0$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$y=0$$

2x+3y=8లో yను 0 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x=8$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=0$$