{l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=58$$

$$y=-23$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

x+1y-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

y-1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5yని పొందడం కోసం 3y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5ని పొందడం కోసం 2ని -3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+5y-5=54$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$3x+5y=54+5$$

59ని పొందడం కోసం 54 మరియు 5ని కూడండి.

$$3x+5y=59$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

x-1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

y+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2+3y+3=48$$

1ని పొందడం కోసం -2 మరియు 3ని కూడండి.

$$2x+1+3y=48$$

రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=48-1$$

47ని పొందడం కోసం 1ని 48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=47$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+5y=59$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-5y+59$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -5y+59ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-5y+59}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+3y=47.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

2 సార్లు \frac{-5y+59}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

3yకు -\frac{10y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{118}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

రెండు వైపులా -3తో గుణించండి.

$$y=-23$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}లో yను -23 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

-\frac{5}{3} సార్లు -23ని గుణించండి.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{115}{3}కు \frac{59}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=58$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=58,y=-23$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

x+1y-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

y-1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5yని పొందడం కోసం 3y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5ని పొందడం కోసం 2ని -3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+5y-5=54$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$3x+5y=54+5$$

59ని పొందడం కోసం 54 మరియు 5ని కూడండి.

$$3x+5y=59$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

x-1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

y+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2+3y+3=48$$

1ని పొందడం కోసం -2 మరియు 3ని కూడండి.

$$2x+1+3y=48$$

రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=48-1$$

47ని పొందడం కోసం 1ని 48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=47$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=58,y=-23$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

x+1y-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

y-1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

5yని పొందడం కోసం 3y మరియు 2yని జత చేయండి.

$$3x+5y-3-2=54$$

-5ని పొందడం కోసం 2ని -3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+5y-5=54$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$3x+5y=54+5$$

59ని పొందడం కోసం 54 మరియు 5ని కూడండి.

$$3x+5y=59$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

x-1తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

y+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2+3y+3=48$$

1ని పొందడం కోసం -2 మరియు 3ని కూడండి.

$$2x+1+3y=48$$

రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=48-1$$

47ని పొందడం కోసం 1ని 48 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+3y=47$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

3x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 6x+9y=141ని 6x+10y=118 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

-6xకు 6xని కూడండి. 6x మరియు -6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10y-9y=118-141$$

-9yకు 10yని కూడండి.

$$y=118-141$$

-141కు 118ని కూడండి.

$$y=-23$$

2x+3y=47లో yను -23 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

3 సార్లు -23ని గుణించండి.

$$2x-69=47$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 69ని కూడండి.

$$2x=116$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=58$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=58,y=-23$$