{l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=3$$

$$y=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది -2కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(y+2\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

x+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

y+2తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3=2y+4$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3-2y=4$$

రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-2y=4-3$$

1ని పొందడం కోసం 3ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-2y=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 1కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(y-1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

x-2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-6=y-1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-6-y=-1$$

రెండు వైపులా 6ని జోడించండి.

$$3x-y=-1+6$$

5ని పొందడం కోసం -1 మరియు 6ని కూడండి.

$$3x-y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x-2y=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$3x=2y+1$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు 2y+1ని గుణించండి.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{2y+1}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x-y=5.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

3 సార్లు \frac{2y+1}{3}ని గుణించండి.

$$2y+1-y=5$$

-yకు 2yని కూడండి.

$$y+1=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=4$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}లో yను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

\frac{2}{3} సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{8}{3}కు \frac{1}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=4$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది -2కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(y+2\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

x+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

y+2తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3=2y+4$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3-2y=4$$

రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-2y=4-3$$

1ని పొందడం కోసం 3ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-2y=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 1కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(y-1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

x-2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-6=y-1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-6-y=-1$$

రెండు వైపులా 6ని జోడించండి.

$$3x-y=-1+6$$

5ని పొందడం కోసం -1 మరియు 6ని కూడండి.

$$3x-y=5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=3,y=4$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది -2కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(y+2\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

x+1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

y+2తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+3=2y+4$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+3-2y=4$$

రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-2y=4-3$$

1ని పొందడం కోసం 3ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-2y=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ y అన్నది 1కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 3\left(y-1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

x-2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x-6=y-1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-6-y=-1$$

రెండు వైపులా 6ని జోడించండి.

$$3x-y=-1+6$$

5ని పొందడం కోసం -1 మరియు 6ని కూడండి.

$$3x-y=5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3x-y=5ని 3x-2y=1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

-3xకు 3xని కూడండి. 3x మరియు -3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-2y+y=1-5$$

yకు -2yని కూడండి.

$$-y=1-5$$

-5కు 1ని కూడండి.

$$-y=-4$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=4$$

3x-y=5లో yను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x-4=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$3x=9$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=4$$