{l}{7/3x+y/2=4}{x+2/5=y+4/3} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 7 } { 3 } x + \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } = \frac { y + 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{162}{79} = 2\frac{4}{79} \approx 2.050632911$$

$$y = -\frac{124}{79} = -1\frac{45}{79} \approx -1.569620253$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$14x+3y=24$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 15తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,3.

$$3\left(x+2\right)=5\left(y+4\right)$$

x+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+6=5\left(y+4\right)$$

y+4తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+6=5y+20$$

రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+6-5y=20$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-5y=20-6$$

14ని పొందడం కోసం 6ని 20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-5y=14$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$14x+3y=24,3x-5y=14$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$14x+3y=24$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$14x=-3y+24$$

రెండు వైపులా 14తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{14}\left(-3y+24\right)$$

\frac{1}{14} సార్లు -3y+24ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{14}y+\frac{12}{7}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{14}+\frac{12}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x-5y=14.

$$3\left(-\frac{3}{14}y+\frac{12}{7}\right)-5y=14$$

3 సార్లు -\frac{3y}{14}+\frac{12}{7}ని గుణించండి.

$$-\frac{9}{14}y+\frac{36}{7}-5y=14$$

-5yకు -\frac{9y}{14}ని కూడండి.

$$-\frac{79}{14}y+\frac{36}{7}=14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{36}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{79}{14}y=\frac{62}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{79}{14}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{124}{79}$$

x=-\frac{3}{14}y+\frac{12}{7}లో yను -\frac{124}{79} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{14}\left(-\frac{124}{79}\right)+\frac{12}{7}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{3}{14} సార్లు -\frac{124}{79}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{186}{553}+\frac{12}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{186}{553}కు \frac{12}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{162}{79}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{162}{79},y=-\frac{124}{79}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$14x+3y=24$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 15తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,3.

$$3\left(x+2\right)=5\left(y+4\right)$$

x+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+6=5\left(y+4\right)$$

y+4తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+6=5y+20$$

రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+6-5y=20$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-5y=20-6$$

14ని పొందడం కోసం 6ని 20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-5y=14$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$14x+3y=24,3x-5y=14$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}14&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}14&3\\3&-5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\14\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{14\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{14\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{14\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{14}{14\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{79}&\frac{3}{79}\\\frac{3}{79}&-\frac{14}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\14\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{79}\times 24+\frac{3}{79}\times 14\\\frac{3}{79}\times 24-\frac{14}{79}\times 14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{162}{79}\\-\frac{124}{79}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{162}{79},y=-\frac{124}{79}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2.

$$14x+3y=24$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 15తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,3.

$$3\left(x+2\right)=5\left(y+4\right)$$

x+2తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+6=5\left(y+4\right)$$

y+4తో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3x+6=5y+20$$

రెండు భాగాల నుండి 5yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+6-5y=20$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-5y=20-6$$

14ని పొందడం కోసం 6ని 20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-5y=14$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$14x+3y=24,3x-5y=14$$

14x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 14తో గుణించండి.

$$3\times 14x+3\times 3y=3\times 24,14\times 3x+14\left(-5\right)y=14\times 14$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$42x+9y=72,42x-70y=196$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 42x-70y=196ని 42x+9y=72 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$42x-42x+9y+70y=72-196$$

-42xకు 42xని కూడండి. 42x మరియు -42x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9y+70y=72-196$$

70yకు 9yని కూడండి.

$$79y=72-196$$

-196కు 72ని కూడండి.

$$79y=-124$$

రెండు వైపులా 79తో భాగించండి.

$$y=-\frac{124}{79}$$

3x-5y=14లో yను -\frac{124}{79} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x-5\left(-\frac{124}{79}\right)=14$$

-5 సార్లు -\frac{124}{79}ని గుణించండి.

$$3x+\frac{620}{79}=14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{620}{79}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=\frac{486}{79}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{162}{79}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{162}{79},y=-\frac{124}{79}$$