{l}{4/4a-b=4}{1/4a-b=-1} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 4 } { 4 } a - b = 4 } \\ { \frac { 1 } { 4 } a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

a, bని పరిష్కరించండి

$$a = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

$$b = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$a-b=4,\frac{1}{4}a-b=-1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న aని వేరు చేయడం ద్వారా aని పరిష్కరించండి.

$$a-b=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా bని కూడండి.

$$a=b+4$$

మరొక సమీకరణములో aను b+4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \frac{1}{4}a-b=-1.

$$\frac{1}{4}\left(b+4\right)-b=-1$$

\frac{1}{4} సార్లు b+4ని గుణించండి.

$$\frac{1}{4}b+1-b=-1$$

-bకు \frac{b}{4}ని కూడండి.

$$-\frac{3}{4}b+1=-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{3}{4}b=-2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{3}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$b=\frac{8}{3}$$

a=b+4లో bను \frac{8}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a=\frac{8}{3}+4$$

\frac{8}{3}కు 4ని కూడండి.

$$a=\frac{20}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{20}{3},b=\frac{8}{3}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$a-b=4,\frac{1}{4}a-b=-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{4}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{4}&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{4}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{4}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{\frac{1}{4}}{-1-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 4-\frac{4}{3}\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{4}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{3}\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

a మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a=\frac{20}{3},b=\frac{8}{3}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$a-b=4,\frac{1}{4}a-b=-1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{1}{4}a-b=-1ని a-b=4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$a-\frac{1}{4}a-b+b=4+1$$

bకు -bని కూడండి. -b మరియు b విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$a-\frac{1}{4}a=4+1$$

-\frac{a}{4}కు aని కూడండి.

$$\frac{3}{4}a=4+1$$

1కు 4ని కూడండి.

$$\frac{3}{4}a=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$a=\frac{20}{3}$$

\frac{1}{4}a-b=-1లో aను \frac{20}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు bని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\frac{1}{4}\times \frac{20}{3}-b=-1$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{4} సార్లు \frac{20}{3}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$\frac{5}{3}-b=-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-b=-\frac{8}{3}$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$b=\frac{8}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{20}{3},b=\frac{8}{3}$$