{l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

A, Bని పరిష్కరించండి

$$A=300$$

$$B=200$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న Aని వేరు చేయడం ద్వారా Aని పరిష్కరించండి.

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి Bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{2}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

\frac{3}{2} సార్లు -B+400ని గుణించండి.

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

మరొక సమీకరణములో Aను -\frac{3B}{2}+600 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, A+\frac{4}{5}B=460.

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

\frac{4B}{5}కు -\frac{3B}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 600ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{7}{10}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$B=200$$

A=-\frac{3}{2}B+600లో Bను 200 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

-\frac{3}{2} సార్లు 200ని గుణించండి.

$$A=-300+600$$

-300కు 600ని కూడండి.

$$A=300$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$A=300,B=200$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

A మరియు B మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$A=300,B=200$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

\frac{2A}{3} మరియు Aని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను \frac{2}{3}తో గుణించండి.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}ని \frac{2}{3}A+B=400 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

-\frac{2A}{3}కు \frac{2A}{3}ని కూడండి. \frac{2A}{3} మరియు -\frac{2A}{3} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

-\frac{8B}{15}కు Bని కూడండి.

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

-\frac{920}{3}కు 400ని కూడండి.

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{15}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$B=200$$

A+\frac{4}{5}B=460లో Bను 200 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు Aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

\frac{4}{5} సార్లు 200ని గుణించండి.

$$A+160=460$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 160ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$A=300$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$A=300,B=200$$