{l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 100తో గుణించండి.

$$108x+110y=100800$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 10ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{110}{100} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{108}{100} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$108x+110y=100800$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 110yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$108x=-110y+100800$$

రెండు వైపులా 108తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

\frac{1}{108} సార్లు -110y+100800ని గుణించండి.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

\frac{11}{10} సార్లు -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

\frac{27y}{25}కు -\frac{121y}{108}ని కూడండి.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{3080}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{109}{2700}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}లో yను -\frac{3600}{109} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{55}{54} సార్లు -\frac{3600}{109}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{11000}{327}కు \frac{2800}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{105400}{109}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 100తో గుణించండి.

$$108x+110y=100800$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 10ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{110}{100} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{108}{100} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 100తో గుణించండి.

$$108x+110y=100800$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 10ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{110}{100} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

4ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{108}{100} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

108x మరియు \frac{11x}{10}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను \frac{11}{10}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 108తో గుణించండి.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024ని \frac{594}{5}x+121y=110880 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

-\frac{594x}{5}కు \frac{594x}{5}ని కూడండి. \frac{594x}{5} మరియు -\frac{594x}{5} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

-\frac{2916y}{25}కు 121yని కూడండి.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

-111024కు 110880ని కూడండి.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{109}{25}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028లో yను -\frac{3600}{109} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{27}{25} సార్లు -\frac{3600}{109}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3888}{109}ని కూడండి.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{10}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{105400}{109}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$