{l}{1/2x-4/5y=-2}{1/6x-1/3y=2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 4 } { 5 } y = - 2 } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 2 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-68$$

$$y=-40$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{4y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}x=\frac{4}{5}y-2$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$x=2\left(\frac{4}{5}y-2\right)$$

2 సార్లు \frac{4y}{5}-2ని గుణించండి.

$$x=\frac{8}{5}y-4$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{8y}{5}-4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{1}{6}\left(\frac{8}{5}y-4\right)-\frac{1}{3}y=2$$

\frac{1}{6} సార్లు \frac{8y}{5}-4ని గుణించండి.

$$\frac{4}{15}y-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}y=2$$

-\frac{y}{3}కు \frac{4y}{15}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{15}y-\frac{2}{3}=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{2}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{15}y=\frac{8}{3}$$

రెండు వైపులా -15తో గుణించండి.

$$y=-40$$

x=\frac{8}{5}y-4లో yను -40 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{8}{5}\left(-40\right)-4$$

\frac{8}{5} సార్లు -40ని గుణించండి.

$$x=-64-4$$

-64కు -4ని కూడండి.

$$x=-68$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-68,y=-40$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&-\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-24\\5&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(-2\right)-24\times 2\\5\left(-2\right)-15\times 2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-68\\-40\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-68,y=-40$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

\frac{x}{2} మరియు \frac{x}{6}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను \frac{1}{6}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను \frac{1}{2}తో గుణించండి.

$$\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{4}{5}\right)y=\frac{1}{6}\left(-2\right),\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3},\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1ని \frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

-\frac{x}{12}కు \frac{x}{12}ని కూడండి. \frac{x}{12} మరియు -\frac{x}{12} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

\frac{y}{6}కు -\frac{2y}{15}ని కూడండి.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{1}{3}-1$$

-1కు -\frac{1}{3}ని కూడండి.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{4}{3}$$

రెండు వైపులా 30తో గుణించండి.

$$y=-40$$

\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2లో yను -40 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}\left(-40\right)=2$$

-\frac{1}{3} సార్లు -40ని గుణించండి.

$$\frac{1}{6}x+\frac{40}{3}=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{40}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{6}x=-\frac{34}{3}$$

రెండు వైపులా 6తో గుణించండి.

$$x=-68$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-68,y=-40$$