{l}{1/2x-1+2y/12=2x-5y/3-7/4}{frac{1}{5}x+frac{2}{7}y=-frac{3}{35}} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 + 2 y } { 12 } = \frac { 2 x - 5 y } { 3 } - \frac { 7 } { 4 } } \\ { \frac { 1 } { 5 } x + \frac { 2 } { 7 } y = - \frac { 3 } { 35 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

2x-5yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

రెండు భాగాల నుండి 8xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2xని పొందడం కోసం 6x మరియు -8xని జత చేయండి.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

రెండు వైపులా 20yని జోడించండి.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18yని పొందడం కోసం -2y మరియు 20yని జత చేయండి.

$$-2x-1+18y=-21$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20ని పొందడం కోసం -21 మరియు 1ని కూడండి.

$$-2x+18y=-20$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-2x+18y=-20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 18yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x=-18y-20$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-18y-20\right)$$

-\frac{1}{2} సార్లు -18y-20ని గుణించండి.

$$x=9y+10$$

మరొక సమీకరణములో xను 9y+10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}.

$$\frac{1}{5}\left(9y+10\right)+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

\frac{1}{5} సార్లు 9y+10ని గుణించండి.

$$\frac{9}{5}y+2+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

\frac{2y}{7}కు \frac{9y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{73}{35}y+2=-\frac{3}{35}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{73}{35}y=-\frac{73}{35}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{73}{35}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-1$$

x=9y+10లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=9\left(-1\right)+10$$

9 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=-9+10$$

-9కు 10ని కూడండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

2x-5yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

రెండు భాగాల నుండి 8xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2xని పొందడం కోసం 6x మరియు -8xని జత చేయండి.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

రెండు వైపులా 20yని జోడించండి.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18yని పొందడం కోసం -2y మరియు 20yని జత చేయండి.

$$-2x-1+18y=-21$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20ని పొందడం కోసం -21 మరియు 1ని కూడండి.

$$-2x+18y=-20$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&18\\\frac{1}{5}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{7}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{18}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}&-\frac{2}{-2\times \frac{2}{7}-18\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}&\frac{315}{73}\\\frac{7}{146}&\frac{35}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{73}\left(-20\right)+\frac{315}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\\\frac{7}{146}\left(-20\right)+\frac{35}{73}\left(-\frac{3}{35}\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,12,3,4.

$$6x-\left(1+2y\right)=4\left(2x-5y\right)-21$$

1+2y యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$6x-1-2y=4\left(2x-5y\right)-21$$

2x-5yతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-1-2y=8x-20y-21$$

రెండు భాగాల నుండి 8xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-1-2y-8x=-20y-21$$

-2xని పొందడం కోసం 6x మరియు -8xని జత చేయండి.

$$-2x-1-2y=-20y-21$$

రెండు వైపులా 20yని జోడించండి.

$$-2x-1-2y+20y=-21$$

18yని పొందడం కోసం -2y మరియు 20yని జత చేయండి.

$$-2x-1+18y=-21$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$-2x+18y=-21+1$$

-20ని పొందడం కోసం -21 మరియు 1ని కూడండి.

$$-2x+18y=-20$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-2x+18y=-20,\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}$$

-2x మరియు \frac{x}{5}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను \frac{1}{5}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి.

$$\frac{1}{5}\left(-2\right)x+\frac{1}{5}\times 18y=\frac{1}{5}\left(-20\right),-2\times \frac{1}{5}x-2\times \frac{2}{7}y=-2\left(-\frac{3}{35}\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4,-\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -\frac{2}{5}x-\frac{4}{7}y=\frac{6}{35}ని -\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y=-4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

\frac{2x}{5}కు -\frac{2x}{5}ని కూడండి. -\frac{2x}{5} మరియు \frac{2x}{5} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\frac{18}{5}y+\frac{4}{7}y=-4-\frac{6}{35}$$

\frac{4y}{7}కు \frac{18y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{146}{35}y=-4-\frac{6}{35}$$

-\frac{6}{35}కు -4ని కూడండి.

$$\frac{146}{35}y=-\frac{146}{35}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{146}{35}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-1$$

\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}y=-\frac{3}{35}లో yను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\frac{1}{5}x+\frac{2}{7}\left(-1\right)=-\frac{3}{35}$$

\frac{2}{7} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$\frac{1}{5}x-\frac{2}{7}=-\frac{3}{35}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{2}{7}ని కూడండి.

$$\frac{1}{5}x=\frac{1}{5}$$

రెండు వైపులా 5తో గుణించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-1$$