{c}{y-3x+15=10}{6-4x=y} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=10-15$$

-5ని పొందడం కోసం 15ని 10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6-4x-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$-4x-y=-6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y-3x=-5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3xని కూడండి.

$$y=3x-5$$

మరొక సమీకరణములో yను 3x-5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -y-4x=-6.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

-1 సార్లు 3x-5ని గుణించండి.

$$-3x+5-4x=-6$$

-4xకు -3xని కూడండి.

$$-7x+5=-6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7x=-11$$

రెండు వైపులా -7తో భాగించండి.

$$x=\frac{11}{7}$$

y=3x-5లో xను \frac{11}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

3 సార్లు \frac{11}{7}ని గుణించండి.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

\frac{33}{7}కు -5ని కూడండి.

$$y=-\frac{2}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=10-15$$

-5ని పొందడం కోసం 15ని 10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6-4x-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$-4x-y=-6$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=10-15$$

-5ని పొందడం కోసం 15ని 10 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-3x=-5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6-4x-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 6ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$-4x-y=-6$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

y మరియు -yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -y-4x=-6ని -y+3x=5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

yకు -yని కూడండి. -y మరియు y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3x+4x=5+6$$

4xకు 3xని కూడండి.

$$7x=5+6$$

6కు 5ని కూడండి.

$$7x=11$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$x=\frac{11}{7}$$

-y-4x=-6లో xను \frac{11}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

-4 సార్లు \frac{11}{7}ని గుణించండి.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{44}{7}ని కూడండి.

$$-y=\frac{2}{7}$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=-\frac{2}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$