{c}{x=3y-8}{2x+26=y} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y - 8 } \\ { 2 x + 26 = y } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-14$$

$$y=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-3y=-8$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+26-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 26ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$2x-y=-26$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-3y=-8,2x-y=-26$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-3y=-8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$x=3y-8$$

మరొక సమీకరణములో xను 3y-8 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x-y=-26.

$$2\left(3y-8\right)-y=-26$$

2 సార్లు 3y-8ని గుణించండి.

$$6y-16-y=-26$$

-yకు 6yని కూడండి.

$$5y-16=-26$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 16ని కూడండి.

$$5y=-10$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$y=-2$$

x=3y-8లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=3\left(-2\right)-8$$

3 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=-6-8$$

-6కు -8ని కూడండి.

$$x=-14$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-14,y=-2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-3y=-8$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+26-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 26ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$2x-y=-26$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-3y=-8,2x-y=-26$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-26\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-26\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-26\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-3\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-26\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-26\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-8\right)+\frac{3}{5}\left(-26\right)\\-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-26\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-14,y=-2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-3y=-8$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+26-y=0$$

రెండు భాగాల నుండి 26ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$2x-y=-26$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-3y=-8,2x-y=-26$$

x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$2x+2\left(-3\right)y=2\left(-8\right),2x-y=-26$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2x-6y=-16,2x-y=-26$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x-y=-26ని 2x-6y=-16 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2x-6y+y=-16+26$$

-2xకు 2xని కూడండి. 2x మరియు -2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-6y+y=-16+26$$

yకు -6yని కూడండి.

$$-5y=-16+26$$

26కు -16ని కూడండి.

$$-5y=10$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$y=-2$$

2x-y=-26లో yను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x-\left(-2\right)=-26$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-28$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=-14$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-14,y=-2$$