{c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=53$$

$$y=17$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-3y=2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y-5తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x-5=4y-20$$

రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-5-4y=-20$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$x-4y=-20+5$$

-15ని పొందడం కోసం -20 మరియు 5ని కూడండి.

$$x-4y=-15$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-3y=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$x=3y+2$$

మరొక సమీకరణములో xను 3y+2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-4y=-15.

$$3y+2-4y=-15$$

-4yకు 3yని కూడండి.

$$-y+2=-15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y=-17$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=17$$

x=3y+2లో yను 17 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=3\times 17+2$$

3 సార్లు 17ని గుణించండి.

$$x=51+2$$

51కు 2ని కూడండి.

$$x=53$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=53,y=17$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-3y=2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y-5తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x-5=4y-20$$

రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-5-4y=-20$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$x-4y=-20+5$$

-15ని పొందడం కోసం -20 మరియు 5ని కూడండి.

$$x-4y=-15$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=53,y=17$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-3y=2$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. y-5తో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x-5=4y-20$$

రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-5-4y=-20$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$x-4y=-20+5$$

-15ని పొందడం కోసం -20 మరియు 5ని కూడండి.

$$x-4y=-15$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా x-4y=-15ని x-3y=2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-x-3y+4y=2+15$$

-xకు xని కూడండి. x మరియు -x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-3y+4y=2+15$$

4yకు -3yని కూడండి.

$$y=2+15$$

15కు 2ని కూడండి.

$$y=17$$

x-4y=-15లో yను 17 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-4\times 17=-15$$

-4 సార్లు 17ని గుణించండి.

$$x-68=-15$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 68ని కూడండి.

$$x=53$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=53,y=17$$