{c}{x+y=89}{2x+y=23y} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 23yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+y-23y=0$$

-22yని పొందడం కోసం y మరియు -23yని జత చేయండి.

$$2x-22y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=89$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+89$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+89 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x-22y=0.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

2 సార్లు -y+89ని గుణించండి.

$$-2y+178-22y=0$$

-22yకు -2yని కూడండి.

$$-24y+178=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 178ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-24y=-178$$

రెండు వైపులా -24తో భాగించండి.

$$y=\frac{89}{12}$$

x=-y+89లో yను \frac{89}{12} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

-\frac{89}{12}కు 89ని కూడండి.

$$x=\frac{979}{12}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 23yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+y-23y=0$$

-22yని పొందడం కోసం y మరియు -23yని జత చేయండి.

$$2x-22y=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 23yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x+y-23y=0$$

-22yని పొందడం కోసం y మరియు -23yని జత చేయండి.

$$2x-22y=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x-22y=0ని 2x+2y=178 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

-2xకు 2xని కూడండి. 2x మరియు -2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2y+22y=178$$

22yకు 2yని కూడండి.

$$24y=178$$

రెండు వైపులా 24తో భాగించండి.

$$y=\frac{89}{12}$$

2x-22y=0లో yను \frac{89}{12} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

-22 సార్లు \frac{89}{12}ని గుణించండి.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{979}{6}ని కూడండి.

$$2x=\frac{979}{6}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{979}{12}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$