{c}{x+y=64}{12x+26y=19} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 64 } \\ { 12 x + 26 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{235}{2} = 117\frac{1}{2} = 117.5$$

$$y = -\frac{107}{2} = -53\frac{1}{2} = -53.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=64$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+64$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+64 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 12x+26y=19.

$$12\left(-y+64\right)+26y=19$$

12 సార్లు -y+64ని గుణించండి.

$$-12y+768+26y=19$$

26yకు -12yని కూడండి.

$$14y+768=19$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 768ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$14y=-749$$

రెండు వైపులా 14తో భాగించండి.

$$y=-\frac{107}{2}$$

x=-y+64లో yను -\frac{107}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\left(-\frac{107}{2}\right)+64$$

-1 సార్లు -\frac{107}{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{107}{2}+64$$

\frac{107}{2}కు 64ని కూడండి.

$$x=\frac{235}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\12&26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{26}{26-12}&-\frac{1}{26-12}\\-\frac{12}{26-12}&\frac{1}{26-12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\19\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{1}{14}\times 19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{1}{14}\times 19\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{235}{2}\\-\frac{107}{2}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=64,12x+26y=19$$

x మరియు 12xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 12తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$12x+12y=12\times 64,12x+26y=19$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$12x+12y=768,12x+26y=19$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 12x+26y=19ని 12x+12y=768 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x-12x+12y-26y=768-19$$

-12xకు 12xని కూడండి. 12x మరియు -12x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$12y-26y=768-19$$

-26yకు 12yని కూడండి.

$$-14y=768-19$$

-19కు 768ని కూడండి.

$$-14y=749$$

రెండు వైపులా -14తో భాగించండి.

$$y=-\frac{107}{2}$$

12x+26y=19లో yను -\frac{107}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$12x+26\left(-\frac{107}{2}\right)=19$$

26 సార్లు -\frac{107}{2}ని గుణించండి.

$$12x-1391=19$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1391ని కూడండి.

$$12x=1410$$

రెండు వైపులా 12తో భాగించండి.

$$x=\frac{235}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{235}{2},y=-\frac{107}{2}$$