{c}{x+y=60}{15x+25y=1150} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 60 } \\ { 15 x + 25 y = 1150 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=35$$

$$y=25$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=60,15x+25y=1150$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=60$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+60$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+60 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 15x+25y=1150.

$$15\left(-y+60\right)+25y=1150$$

15 సార్లు -y+60ని గుణించండి.

$$-15y+900+25y=1150$$

25yకు -15yని కూడండి.

$$10y+900=1150$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 900ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$10y=250$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$y=25$$

x=-y+60లో yను 25 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-25+60$$

-25కు 60ని కూడండి.

$$x=35$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=35,y=25$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=60,15x+25y=1150$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\15&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-15}&-\frac{1}{25-15}\\-\frac{15}{25-15}&\frac{1}{25-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\1150\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\times 60-\frac{1}{10}\times 1150\\-\frac{3}{2}\times 60+\frac{1}{10}\times 1150\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\25\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=35,y=25$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=60,15x+25y=1150$$

x మరియు 15xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 15తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$15x+15y=15\times 60,15x+25y=1150$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15x+15y=900,15x+25y=1150$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15x+25y=1150ని 15x+15y=900 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-15x+15y-25y=900-1150$$

-15xకు 15xని కూడండి. 15x మరియు -15x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$15y-25y=900-1150$$

-25yకు 15yని కూడండి.

$$-10y=900-1150$$

-1150కు 900ని కూడండి.

$$-10y=-250$$

రెండు వైపులా -10తో భాగించండి.

$$y=25$$

15x+25y=1150లో yను 25 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$15x+25\times 25=1150$$

25 సార్లు 25ని గుణించండి.

$$15x+625=1150$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 625ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x=525$$

రెండు వైపులా 15తో భాగించండి.

$$x=35$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=35,y=25$$