{c}{x+y=500}{50x+80y=28000} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 500 } \\ { 50 x + 80 y = 28000 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=400$$

$$y=100$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=500$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+500$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+500 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 50x+80y=28000.

$$50\left(-y+500\right)+80y=28000$$

50 సార్లు -y+500ని గుణించండి.

$$-50y+25000+80y=28000$$

80yకు -50yని కూడండి.

$$30y+25000=28000$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 25000ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30y=3000$$

రెండు వైపులా 30తో భాగించండి.

$$y=100$$

x=-y+500లో yను 100 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-100+500$$

-100కు 500ని కూడండి.

$$x=400$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=400,y=100$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\50&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-50}&-\frac{1}{80-50}\\-\frac{50}{80-50}&\frac{1}{80-50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{1}{30}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\28000\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times 500-\frac{1}{30}\times 28000\\-\frac{5}{3}\times 500+\frac{1}{30}\times 28000\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\100\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=400,y=100$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+y=500,50x+80y=28000$$

x మరియు 50xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 50తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$50x+50y=50\times 500,50x+80y=28000$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$50x+50y=25000,50x+80y=28000$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 50x+80y=28000ని 50x+50y=25000 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$50x-50x+50y-80y=25000-28000$$

-50xకు 50xని కూడండి. 50x మరియు -50x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$50y-80y=25000-28000$$

-80yకు 50yని కూడండి.

$$-30y=25000-28000$$

-28000కు 25000ని కూడండి.

$$-30y=-3000$$

రెండు వైపులా -30తో భాగించండి.

$$y=100$$

50x+80y=28000లో yను 100 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$50x+80\times 100=28000$$

80 సార్లు 100ని గుణించండి.

$$50x+8000=28000$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8000ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$50x=20000$$

రెండు వైపులా 50తో భాగించండి.

$$x=400$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=400,y=100$$