{c}{q+r=9}{10q-r=2} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { q + r = 9 } \\ { 10 q - r = 2 } \end{array} \right.$$

q, rని పరిష్కరించండి

$$r=8$$

$$q=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$q+r=9,10q-r=2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న qని వేరు చేయడం ద్వారా qని పరిష్కరించండి.

$$q+r=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి rని వ్యవకలనం చేయండి.

$$q=-r+9$$

మరొక సమీకరణములో qను -r+9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 10q-r=2.

$$10\left(-r+9\right)-r=2$$

10 సార్లు -r+9ని గుణించండి.

$$-10r+90-r=2$$

-rకు -10rని కూడండి.

$$-11r+90=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 90ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-11r=-88$$

రెండు వైపులా -11తో భాగించండి.

$$r=8$$

q=-r+9లో rను 8 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు qని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$q=-8+9$$

-8కు 9ని కూడండి.

$$q=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$q=1,r=8$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$q+r=9,10q-r=2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-10}&-\frac{1}{-1-10}\\-\frac{10}{-1-10}&\frac{1}{-1-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{10}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 9+\frac{1}{11}\times 2\\\frac{10}{11}\times 9-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}q\\r\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

q మరియు r మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$q=1,r=8$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$q+r=9,10q-r=2$$

q మరియు 10qని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 10తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$10q+10r=10\times 9,10q-r=2$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10q+10r=90,10q-r=2$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10q-r=2ని 10q+10r=90 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10q-10q+10r+r=90-2$$

-10qకు 10qని కూడండి. 10q మరియు -10q విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$10r+r=90-2$$

rకు 10rని కూడండి.

$$11r=90-2$$

-2కు 90ని కూడండి.

$$11r=88$$

రెండు వైపులా 11తో భాగించండి.

$$r=8$$

10q-r=2లో rను 8 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు qని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$10q-8=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8ని కూడండి.

$$10q=10$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$q=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$q=1,r=8$$